Asenjo nació en Sigüenza (Guadalajara) el 15 de octubre de 1945 y fue ordenado sacerdote en 1969. Es Licenciado enTeología por la Facultad Teológica del Norte de España, sede de Burgos (1971). Amplió estudios en Roma donde realizó, desde 1977 hasta 1979, los cursos de doctorado en Teología en la Pontificia Universidad Gregoriana de Roma, y las diplomaturas en Archivística y Biblioteconomía en las Escuelas del Archivo Secreto Vaticano y de la Biblioteca Apostólica Vaticana.

Los primeros años de su ministerio sacerdotal los desarrolló en su diócesis de origen, en Sigüenza-Guadalajara, donde trabajó

en la enseñanza y en la formación sacerdotal.

En 1993 fue nombrado vicesecretario para asuntos generales de la CEE, cargo que desempeñó hasta su ordenación episcopal, el 20 de abril de 1997, como obispo auxiliar de Toledo. También ha sido obispo de Córdoba y secretario general y portavoz de la CEE de 1998 a 2003.