Núñez Feijoo, de 38 años, fue nombrado en 1996 secretario general de Asistencia Sanitaria, y presidente ejecutivo del Insalud hasta su nombramiento en Correos. Durante ese periodo, presidió el Consejo General del Insalud.

Desde su incorporación al Insalud desempeñó los cargos de presidente del Patronato de la Fundación Hospital Manacor y del Patronato de la Fundación Hospital Alcorcón. Asimismo, ha sido membro de los Consejos de Administración del Banco de Crédito Local (BCL), de la Empresa Nacional de Autopistas (Enausa) y de Paradores Nacionales.